📊 라플라스 변환 – 신호와 시스템 해석 기법

1️⃣ 라플라스 변환이란?

라플라스 변환(Laplace Transform)은 **시간 영역에서 해석하기 어려운 미분 방정식을 변환하여 주파수 영역에서 쉽게 해석할 수 있도록 하는 수학적 도구**입니다.

주로 전기 회로 해석, 신호 처리, 자동 제어 시스템에서 활용됩니다.

2️⃣ 라플라스 변환 정의

어떤 함수 f(t)가 주어졌을 때, **라플라스 변환**은 다음과 같이 정의됩니다.

F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^-st dt

여기서:

• s: 복소수 변수 (s = σ + jω)
• f(t): 시간 영역에서의 함수
• F(s): 주파수 영역(복소수 영역)에서의 함수

3️⃣ 라플라스 변환의 주요 성질

라플라스 변환은 여러 성질을 이용하여 복잡한 시스템을 쉽게 해석할 수 있습니다.

✅ 선형성(Linearity)

두 함수 f(t), g(t)의 변환이 각각 F(s), G(s)라면:

a f(t) + b g(t) ⟶ a F(s) + b G(s)

✅ 미분 특성(Differentiation Property)

미분을 라플라스 변환하면:

L { f'(t) } = s F(s) - f(0)

L { f''(t) } = s² F(s) - s f(0) - f'(0)

✅ 적분 특성(Integration Property)

적분을 라플라스 변환하면:

L { ∫ f(t) dt } = (1/s) F(s)

✅ 지연 성질(Time Shifting)

함수가 t₀만큼 지연될 때:

L { f(t - t₀) u(t - t₀) } = e^{-s t₀} F(s)

✅ 주파수 변환(Frequency Shifting)

지수함수가 곱해진 경우:

L { e^at f(t) } = F(s - a)

4️⃣ 기본적인 라플라스 변환 공식

✅ 기본 함수 변환

• 단위 계단 함수 (1): 1/s
• 지수 함수 (e^-at): 1/(s + a)
• 사인 함수 (sin ωt): ω/(s² + ω²)
• 코사인 함수 (cos ωt): s/(s² + ω²)

✅ 미분 방정식의 라플라스 변환

다음과 같은 미분 방정식을:

d²y/dt² + 3 dy/dt + 2y = f(t)

라플라스 변환을 적용하면:

(s²Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = F(s)

이렇게 변환하면 미분 방정식을 **대수 방정식**으로 바꿀 수 있어 해석이 쉬워집니다.

5️⃣ 라플라스 변환의 활용

✅ 전기 회로 해석

라플라스 변환을 사용하면 RLC 회로를 쉽게 해석할 수 있습니다.

• R (저항): R
• L (인덕터): sL
• C (커패시터): 1/(sC)

✅ 시스템 응답 분석

시스템의 주파수 응답을 해석할 때 활용됩니다.

✅ 제어 시스템

PID 제어기, 전달함수 해석 등에 사용됩니다.

💡 요약

• 라플라스 변환은 **시간 영역의 미분 방정식을 주파수 영역의 대수 방정식**으로 변환하는 기법.
• 전기 회로 해석, 신호 처리, 제어 시스템에서 활용됨.
• 미분 및 적분을 대수적 연산으로 변환하여 **해석을 단순화**할 수 있음.