⚡ 전달함수 – 제어공학에서 시스템의 응답 해석

1️⃣ 전달함수(Transfer Function)란?

**전달함수(Transfer Function)**는 제어 시스템에서 입력과 출력의 관계를 수학적으로 나타낸 함수입니다.

특히 **라플라스 변환**을 사용하여 시스템을 해석하고, 동작을 분석하는 중요한 개념입니다.

일반적으로 **선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant, LTI)**에서 사용되며, 시스템의 동작을 주파수 영역에서 쉽게 분석할 수 있습니다.

2️⃣ 전달함수의 정의

전달함수는 입력 X(s) 와 출력 Y(s) 의 비율로 정의됩니다.

G(s) = Y(s) / X(s)

여기서:

• G(s): 전달함수
• Y(s): 출력 신호의 라플라스 변환
• X(s): 입력 신호의 라플라스 변환

즉, 시스템이 입력을 받아 출력으로 변환하는 과정을 나타내는 식입니다.

3️⃣ 전달함수의 특징

• 선형 시불변 시스템(LTI)에서만 정의됨.
• 시간 영역에서의 미분 방정식을 **주파수 영역에서 대수적 표현**으로 변환 가능.
• 시스템의 **안정성, 응답 특성, 주파수 응답**을 쉽게 분석할 수 있음.

4️⃣ 전달함수의 표현

일반적인 전달함수는 다음과 같이 분자와 분모의 다항식 형태로 나타냅니다.

G(s) = (b_ms^m + ... + b₁s + b₀) / (a_nsⁿ + ... + a₁s + a₀)

여기서:

• 분자(위쪽): **출력에 영향을 주는 계수**
• 분모(아래쪽): **시스템의 특성 방정식**

5️⃣ 전달함수를 이용한 시스템 해석

전달함수를 사용하면 시스템의 응답을 분석할 수 있습니다.

✅ 극점(Poles)과 영점(Zeros)

• 극점(Poles): 전달함수의 분모를 0으로 만드는 값
• 영점(Zeros): 전달함수의 분자를 0으로 만드는 값

극점과 영점의 위치에 따라 시스템의 안정성이 결정됩니다.

✅ 시스템 안정성

극점이 모두 **좌반평면(Real Part < 0)**에 있으면 안정한 시스템입니다.

• 극점이 우반평면에 있으면 → **불안정(Unstable)**
• 극점이 허수축 위에 있으면 → **한계 안정(Marginally Stable)**

6️⃣ 전달함수의 예제

✅ 1차 시스템 예제

단순 RC 저역통과 필터의 전달함수:

G(s) = 1 / (RCs + 1)

여기서 **RC는 회로의 시간 상수**입니다.

✅ 2차 시스템 예제

일반적인 2차 시스템의 전달함수:

G(s) = ω_n² / (s² + 2ζω_ns + ω_n²)

여기서:

• ω_n: 고유 주파수
• ζ: 감쇠 계수

7️⃣ 전달함수의 활용

✅ 제어 시스템 설계

PID 제어기 설계 시 전달함수를 활용하여 시스템을 분석하고 조정합니다.

✅ 필터 설계

전기 및 신호처리 시스템에서 **저역통과 필터, 고역통과 필터** 등을 설계할 때 사용됩니다.

✅ 안정성 분석

시스템이 정상적으로 동작하는지 **루스-후르비츠 안정성 기준** 등을 통해 확인할 수 있습니다.

💡 요약

• 전달함수는 시스템의 입력과 출력을 주파수 영역에서 분석하는 도구.
• 극점과 영점의 위치에 따라 시스템의 응답 특성이 결정됨.
• 제어 시스템, 신호처리, 필터 설계 등에 활용됨.